ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 3749. 14. Дан куб ABCDA1B1C1D1. а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер АВ, B1 C1, AD. б) Найдите угол между плоскостью A1BD и плоскостью, проходящей через середины рёбер

Задание 14. Дан куб ABCDA1B1C1D1.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер АВ, B1 C1, AD.

б) Найдите угол между плоскостью A1BD и плоскостью, проходящей через середины рёбер АВ, В1С1, AD.

Решение.

а) Все грани куба – квадраты и противоположные грани образуют параллельные плоскости. Искомая плоскость α пересекает ABC по прямой PM, а A1B1C1 – по прямой NK, причем . Далее, продолжение отрезков PM и BC пересекаются в точке E и точка E принадлежит плоскости BCC1. Так как точка N также принадлежит этой плоскости, соединяем эти точки прямой. Получаем точку F на отрезке BB1. Затем, продолжаем отрезки DC и PM, которые пересекаются в точке U. Соединяем точку U с точкой K, получаем точку Z на отрезке DD1. В результате, получаем сечение PMFNKZ в виде правильного шестиугольника.

б) Угол между плоскостью A1BD и α (правильный шестиугольник) – это линейный угол двугранного угла. Учитывая, что диагонали BD и AC перпендикулярны, имеем: , следовательно,  по теореме о трех перпендикулярах. И искомый угол – это угол A1O1A.

Пусть ребро куба равно 1, тогда  и

и

Ответ:


Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей доступны следующие материалы: