Задание 16. В треугольнике ABC известно, что АС = 26 и АВ = ВС = 38.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне АС, пересекает окружность, вписанную в треугольник ABC.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне АС.
Решение.
а) MN – средняя линия
треугольника ABC и 
, следовательно, 
. Треугольник OTF –
прямоугольный: OT – катет, OF – гипотенуза, следовательно, OF > OT и OT < R, где R – радиус
вписанной окружности. Отсюда следует, что MN будет
пересекать вписанную в треугольник ABC окружность.
б) По условию AC=26, значит, MN=AC:2 = 13 (по свойству средней линии треугольника). Также дано, что AB=BC=38. Далее, отрезок касательной BP вычисляется как
,
где p – полупериметр треугольника ABC. Получаем:
Найдем
длину отрезка 
.
Так как MP – касательная, а
MN – секущая, то по
теореме о секущей и касательной, можно записать:
Пусть
, а 
. Получаем уравнение:
Значение x=9 не удовлетворяет условию задачи, значит, MF=4, FZ=5, ZN=4. И окончательно, имеем:
MF:FZ:ZN = 4:5:4
Ответ: 4:5:4
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: