ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 2554. В ящике лежит 58 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса

Задание 19. В ящике лежит 58 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 976 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1036 г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?

б) Могло ли в ящике оказаться ровно 12 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?

в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Решение.

а) Пусть в ящике k овощей массой меньше 1000 г, k овощей массой больше 1000 г и (58 – 2k) овощей массой ровно 1000 г. Тогда

но все овощи не могут быть одной массы, значит, в ящике не могло оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г.

б) Пусть в ящике k овощей массой меньше 1000 г, m овощей массой ровно 1000 г и n овощей массой больше 1000 г. Тогда

Поскольку числа 2 и 3 взаимно просты,

Таким образом, . Следовательно, количество овощей с массой, отличной от 1000 г, делится на 5, и , то есть  и . Значит,

Следовательно, в ящике не могло оказаться ровно 12 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г.

в) Пусть масса самого легкого овоща равна x г, а максимальная масса k овощей массой меньше 1000 г равна 999 г, тогда можно записать такое неравенство

В пункте б было показано, что k = 3s и , значит,

Покажем, что масса самого легкого овоща может быть 240 г. Если в ящике 58-33-1 = 24 овоща массой 1036 г, 3 овоща массой 1000 г, 31 овоща массой 999 г и 1 фрукт массой 240 г, то условия задачи выполнены.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 240.


Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей досутпны следующие материалы: