Задание 14. В правильной треугольной усечённой пирамиде ABCA1B1C1 площадь нижнего основания ABC в девять раз больше площади меньшего основания А1В1С1. Через ребро АВ проведена плоскость α, которая пересекает ребро CC1 в точке N и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.
а) Докажите, что точка N делит ребро CC1 в отношении 5 : 13, считая от точки C1.
б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью α, если высота пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.
Решение.
а) По условию задания . Тогда, в соответствии с рисунком, имеем:
откуда
то есть,
(1)
Объем , а объем усеченной пирамиды ABCA1B1C1, равен:
Подставляем эти величины в формулу (1), получаем:
откуда
Треугольники CC1M и CNP подобны по двум углам, значит,
следовательно,
б) По условию задания площадь треугольника ABC в 9 раз больше площади треугольника A1B1C1, значит, линейные размеры (стороны) треугольника ABC в 3 раза больше соответствующих сторон треугольника A1B1C1, значит, AB=3A1B1=9.
Так как треугольник A1B1C1 – равносторонний со сторонами 3, радиус описанной вокруг него окружности равен
Автоматически получаем, что
Отрезок
и, учитывая (из п. а), что
откуда
А отрезок
Рассмотрим равносторонний треугольник ABC, в котором
Далее,
Из прямоугольного треугольника FPN, имеем:
И площадь треугольника ABN, равна:
Ответ: 48,5.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: