ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 3751. 16. Окружность с центром в точке О пересекает каждую из сторон трапеции ABCD в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны. а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в

 

Задание 16. Окружность с центром в точке О пересекает каждую из сторон трапеции ABCD в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону АВ в точках K и L так, что АК = 13, KL = 6, LB = 1.

Решение.

а) ABCD – трапеция, BL – биссектриса, следовательно, . Так как AD параллельна BC, то  и , следовательно, угол ALB=90° и BL перпендикуляра AC.

Аналогично доказывается, что CL перпендикулярна BD. Получаем, что диагонали BD и AC перпендикулярны и в то же время являются биссектрисами углов. Следовательно, трапеция ABCD – это ромб, а у ромба биссектрисы всех углов пересекаются в одной точке.

б) Задача сводится к нахождению высоты ромба. Рассмотрим равнобедренный треугольник OLK, т.к. OL=OK как радиусы одной окружности.

Далее, , следовательно, OH – медиана и LH=KH:

Так как OH – высота прямоугольного треугольника OAB, то

и высота ромба 2∙OH=16.

Ответ: 16.


Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей доступны следующие материалы: