Задание 16. Окружность с центром в точке О пересекает каждую из сторон трапеции ABCD в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны.
а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.
б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону АВ в точках K и L так, что АК = 13, KL = 6, LB = 1.
Решение.
а) ABCD – трапеция, BL – биссектриса,
следовательно, 
.
Так как AD параллельна BC, то 
и 
, следовательно, угол ALB=90° и BL перпендикуляра AC.
Аналогично доказывается, что CL перпендикулярна BD. Получаем, что диагонали BD и AC перпендикулярны и в то же время являются биссектрисами углов. Следовательно, трапеция ABCD – это ромб, а у ромба биссектрисы всех углов пересекаются в одной точке.
б) Задача сводится к нахождению высоты ромба. Рассмотрим равнобедренный треугольник OLK, т.к. OL=OK как радиусы одной окружности.
Далее,
,
следовательно, OH – медиана и LH=KH:
Так как OH – высота прямоугольного треугольника OAB, то
и высота ромба 2∙OH=16.
Ответ: 16.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: