Задание 16. В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту ВН треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что АС и KN параллельны.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой АС, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6√6, угол BAC = 30°, угол ABC = 105°.
Решение.
а) Так как BH – высота треугольника
ABC, то треугольник
BHC – прямоугольный.
Пусть 
, тогда
. BN – диаметр
описанной вокруг треугольника окружности. Соответственно, 
и 
. Углы CAK и CBH опираются на
одну и ту же дугу CK, следовательно, они равны. По аналогии, 
, так как опираются на
дугу AN. Отсюда
следует, что 
,
которые являются накрест лежащими, следовательно,
по признаку параллельных прямых.
б) Радиус
описанной окружности по условию 
, тогда ее диаметр 
. Найдем отрезок BK из
прямоугольного треугольника NBK по формуле: 
. В свою очередь,
Имеем:
Сторона
NK, равна: 
, где
Получаем:
По
условию задания 
,
соответственно, 
.
Хорды AC и BK опираются на
равные дуги, значит, AC = BK.
Рассмотрим равнобедренную трапецию ANKC, в которой:
Рассмотрим прямоугольный треугольник NPA. Длина стороны NP, равна:
Следовательно, KH = NP = 18.
Ответ: 18.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: