Задание 16. Точка О — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Е.
а) Докажите, что углы EOC = ECO.
б) Найдите площадь треугольника АСЕ, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6√3, угол ABC = 60°.
Решение.
а) O – центр вписанной в треугольник ABC окружности, поэтому CO и OB – биссектрисы соответствующих углов. Далее, угол EOC – внешний угол треугольника COB, следовательно,
Углы
, т.к. они
опираются на одну и ту же дугу EA. Следовательно,
Отсюда
следует, что 
.
б) O – центр
вписанной в треугольник ABC окружности, а O1 – центр
описанной вокруг треугольника ABC окружности. По условию радиус описанной
окружности R=6√3. Так
как 
, то
учитывая, что сумма противоположных углов четырехугольника вписанного в
окружность, равна 180°, имеем:
Так
как BE – биссектриса
угла B, то 
, значит дуги CE=EA и отрезки CE=EA.
Далее, так как треугольник BCE вписан в окружность с центром O1 и радиусом R=6√3, то по теореме синусов, имеем:
откуда
и
. Найдем
площадь треугольника CEA:
Ответ: 27√3
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: