Задание 14. Основанием пирамиды FABC является правильный треугольник ABC со стороной 36. Все боковые рёбра пирамиды равны 30. На рёбрах FB и FC отмечены соответственно точки K и N так, что BK = CN = 20. Через точки K и N проведена плоскость α, перпендикулярная плоскости ABC.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану AM в отношении 2:7.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости α.
Решение.
а) Нужно доказать, что ME:EA = 2:7. Учитывая, что пирамида FABC – правильная, то KN параллельна плоскости ABC. Следовательно, сечение пересекает ABC по прямой PZ, которая параллельна BC и KN.
Рассмотрим
треугольник FMA. Прямые FM и KN пересекаются в
точке Q, а точка E – пересечение
плоскости KNZP и прямой AM. Плоскости FMA и KNZ перпендикулярны
плоскости ABC, следовательно,
прямая QE перпендикулярна
плоскости ABC и 
. Так как FB=30, а BK=20, то
Так
как 
, то 
б) Расстояние от точки B до плоскости KNZ – это отрезок ME. Треугольник ABC – равносторонний с AC=36 и MC=36:2=18. Рассмотрим прямоугольный треугольник AMC и по теореме Пифагора вычислим AM:
и
Ответ: 4√3
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: