ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 5151. Диагонали АС и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC = CD. а) Докажите, что AB:BC=AP:PD. б) Найдите площадь треугольника COD, где О — центр окружности

Задание 16. Диагонали АС и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC = CD.

а) Докажите, что AB:BC=AP:PD.

б) Найдите площадь треугольника COD, где О — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, АВ = 5, а ВС = 5√2.

Решение.

а) Так как стороны BC=CD, то и дуга BC равна дуге CD. На эти дуги опираются равные углы: BAC, CAD, CBD, CDB. Получаем подобные треугольники BPC и APD (по двум углам), следовательно,  и

 или   (1)

Далее, треугольники BPC и ABC также подобны по двум углам, поэтому

 или   (2)

В результате из (1) и (2), имеем:

откуда AB:BC=AP:PD.

б) Так как BD – диаметр окружности, то треугольники BCD и ABD – прямоугольные с прямыми углами C и A соответственно. Также по условию задания BC=CD=5√2, получаем

Рассмотрим прямоугольный треугольник BAD, в котором AB=5, BD=10, следовательно, угол BDA=30°, а угол ODO1 = 15° (так как O – центр вписанной окружности, поэтому DO – биссектриса).

Далее, из равнобедренного треугольника BCD с основание BD получаем, что угол CDB=45°, следовательно, угол ODC=45+15=60°. Из прямоугольного треугольника ABD

и полупериметр треугольника ABD, равен:

Найдем отрезок DE=p-AB (как отрезок части касательной), имеем:

и радиус вписанной окружности:

Рассмотрим прямоугольный треугольник OED, из которого

Рассмотрим треугольник OCD, в котором , следовательно, треугольник ODC – равносторонний. Площадь этого треугольника, равна:

Ответ:


Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей досутпны следующие материалы: