Задание 16. Точка О — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р.
а) Докажите, что углы POA = PAO.
б) Найдите площадь треугольника АРО, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6, углы BAC = 75°, ABC = 60°.
Решение.
а) Поскольку точка О — центр вписанной в треугольник ABC окружности, лучи АО и ВО являются биссектрисами углов треугольника ABC. Угол РОА является внешним углом треугольника АОВ. Следовательно,
Углы РАС и РВС равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу окружности, описанной около треугольника ABC, поэтому
Таким образом, .
б) Пусть R = 6 — радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Поскольку , треугольник АРО равнобедренный, следовательно,
.
Таким образом, площадь треугольника АРО равна
Ответ: 9√2.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: