Задание 14. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания — точка C1, причём СС1 — образующая цилиндра, а АС — диаметр основания. Известно, что угол ACB = 30°, АВ = √2 , СС1 = 4.
а) Докажите, что угол между прямыми АС1 и ВС равен 60°.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение.
а) Треугольник ABC – прямоугольный, так как AC – диаметр. Проведем прямую AP параллельную BC. В результате угол между AC1 и BC будет таким же, что и угол между AC1 и AP.
Отрезок
CC1 – образующая
цилиндра, которая перпендикулярна плоскости ABC, следовательно,
(так как CP параллельна AB). Учитывая, что
, по теореме
о трех перпендикулярах следует, что треугольник C1PA – прямоугольный.
Далее, рассмотрим прямоугольный треугольник C1CP с C1C=4, CP=√2 (так
как CP=BA), получаем:
Рассмотрим треугольник ABC, в котором угол ACB равен 30° и, зная AB=√2, получаем AC=2√2. Далее,
Рассмотрим треугольник C1PA, в котором
следовательно,
.
б) Площадь боковой
поверхности цилиндра 
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC, т.к. AC – диаметр.
Учитывая, что AB=√2, AC=2√2, имеем:
. Высота h=CC1=4 и
Ответ: 
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: