Задание 14. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания — точка C1, причём СС1 — образующая цилиндра, а АС — диаметр основания. Известно, что угол ACB = 30°, АВ = √2 , СС1 = 4.
а) Докажите, что угол между прямыми АС1 и ВС равен 60°.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение.
а) Треугольник ABC – прямоугольный, так как AC – диаметр. Проведем прямую AP параллельную BC. В результате угол между AC1 и BC будет таким же, что и угол между AC1 и AP.
Отрезок CC1 – образующая цилиндра, которая перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, (так как CP параллельна AB). Учитывая, что , по теореме о трех перпендикулярах следует, что треугольник C1PA – прямоугольный. Далее, рассмотрим прямоугольный треугольник C1CP с C1C=4, CP=√2 (так как CP=BA), получаем:
Рассмотрим треугольник ABC, в котором угол ACB равен 30° и, зная AB=√2, получаем AC=2√2. Далее,
Рассмотрим треугольник C1PA, в котором
следовательно, .
б) Площадь боковой поверхности цилиндра . Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC, т.к. AC – диаметр. Учитывая, что AB=√2, AC=2√2, имеем: . Высота h=CC1=4 и
Ответ:
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: