Задание 14. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E – середина ребра A1D1, а точка F лежит на ребре BC так, что BF=2FC. Через вершину A, точки E и F проведена плоскость. Найдите величину двугранного угла между плоскостью AEF и плоскостью ABCD.
Решение.
1. Поместим куб в систему координат так как показано на рисунке.
2. Пусть длина ребра куба равна 1. Тогда имеем такие координаты точек:
3. Искомый угол найдем как угол между
нормалями для плоскостей AEF и ABC. Для плоскости ABC за нормаль
возьмем единичный вектор на оси Oz, то есть, вектор 
. Для плоскости AEF нормаль
обозначим как 
,
причем 
.
Отрезки 
,
следовательно, должны выполняться равенства:
Умножим первое уравнение на 2, а второе – на 3, получим:
Пусть 
, тогда 
, получаем нормаль 
.
4. Обозначим искомый угол через ω, тогда для него можно записать
где 
- длина вектора m; 
- длина вектора n. Произведение
этих двух векторов, равно:
.
Подставляем все эти величины в формулу косинуса угла ω, получим:
и угол
Ответ: 
Другие задания: