Задание 19. Пусть имеются
два натуральных числа, связанных между собой выражением 
, и пусть q – их наименьшее общее кратное, а d – их наибольший общий
делитель.
а) Может ли
быть равен
104?
б) Может ли
быть равен 15?
в) Найдите
наименьшее значение .
Решение.
Представим числа x и y в виде
произведений 
,
где a, b – взаимно
простые числа (иначе d не будет наибольшим общим делителем). Кроме того, из формулы следует, что
наименьшее x=6, при котором
имеем целое 
.
Наименьшее общее кратное можно
записать в виде 
или
так:
а) Чтобы 
число 104 должно представляться в виде
произведения двух взаимно простых чисел a и b. Получаем вариант a=13, b=8, d=1, тогда x=13, y=8 и эти числа удовлетворяет равенству .
б)-в) Равенство выполняется при наименьших x=6, y=5 (см. начало
решения), следовательно, минимальное значение (при a=6, b=5, d=1)
Ответ: а) да; б) нет; в) 30.
Другие задания: