ЕГЭ и ОГЭ
Главная > Авторские издания > ЕГЭ 2019. Математика. С.М. Балакирев. 10 дополнительных тестовых вариантов

Вариант 7. Задание 16. ЕГЭ 2019 Математика. С.М. Балакирев. 10 вариантов. Решение

Задание 16. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведена медиана CD. Около треугольника ACD описана окружность, а в треугольник BCD вписана окружность. Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если BC=3, а радиус описанной окружности вокруг треугольника ABC, равен 2,5.

Решение.

Пусть  - центр описанной окружности вокруг треугольника ACD и имеет радиус R. А  - центр вписанной окружности в треугольник BCD с радиусом r.

Так как точка D находится посередине гипотенузы, то отрезки CD=AD=BD как радиусы описанной окружности вокруг треугольника ABC. Следовательно, треугольник CDB равнобедренный, а точка E будет лежать посередине CB и . Так как DE – это касательная к описанной окружности, а O1D – ее радиус, то угол O1DE – прямой и прямая O1D пересекает прямую AC под прямым углом: .

По условию задания вокруг треугольника ABC можно описать окружность с радиусом 2,5. Известно, что центр этой окружности лежит посередине гипотенузы, то есть, в точке D и AD=BD=2,5 как радиусы описанной окружности. Значит, , а . Найдем сторону AC по теореме Пифагора:

Так как синус – это отношение противолежащего катета на гипотенузу, то

Рассмотрим треугольник ACD, для которого запишем теорему синусов:

значит, .

Вычислим радиус вписанной окружности, используя формулу площади для треугольника BCD:

где ; . Получаем:

Так как , то . Рассмотрим прямоугольный треугольник O1O2D и найдем расстояние между центрами окружностей (гипотенузу O1O2) по теореме Пифагора:

Ответ:


Другие задания:

Темы раздела