Задание 16. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведена медиана CD. Около треугольника ACD описана окружность, а в треугольник BCD вписана окружность. Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если BC=3, а радиус описанной окружности вокруг треугольника ABC, равен 2,5.
Решение.
Пусть 
- центр описанной окружности вокруг
треугольника ACD и имеет радиус R. А 
- центр вписанной
окружности в треугольник BCD с радиусом r.
Так как точка D находится
посередине гипотенузы, то отрезки CD=AD=BD как радиусы
описанной окружности вокруг треугольника ABC. Следовательно,
треугольник CDB равнобедренный,
а точка E будет лежать
посередине CB и 
. Так как DE – это
касательная к описанной окружности, а O1D – ее радиус, то
угол O1DE – прямой и
прямая O1D пересекает
прямую AC под прямым углом:
.
По условию задания вокруг треугольника ABC можно описать
окружность с радиусом 2,5. Известно, что центр этой окружности лежит посередине
гипотенузы, то есть, в точке D и AD=BD=2,5 как радиусы
описанной окружности. Значит, 
, а 
. Найдем сторону AC по теореме
Пифагора:
Так как синус – это отношение противолежащего катета на гипотенузу, то
Рассмотрим треугольник ACD, для которого запишем теорему синусов:
значит, 
.
Вычислим радиус вписанной окружности, используя формулу площади для треугольника BCD:
где 
; 
. Получаем:
Так как 
, то 
. Рассмотрим прямоугольный треугольник O1O2D и найдем
расстояние между центрами окружностей (гипотенузу O1O2) по теореме
Пифагора:
Ответ: 
Другие задания: