Задание 14. Правильная шестиугольная пирамида вписана в сферу. Боковое ребро пирамиды 4, а радиус вписанной в основание окружности, равен √3. Найдите площадь поверхности сферы.
Решение.
Нарисуем чертеж. На нем SM – это диаметр сферы. Сначала найдем этот диаметр.
Так как шестиугольная пирамида правильная, то в ее основании лежит правильный шестиугольник. По условию задания в этот шестиугольник вписана окружность с радиусом √3.
Этот шестиугольник можно разбить на 6 правильных треугольников и рассмотрим один такой треугольник AO1F, в котором O1N=√3. Так как все углы в равностороннем треугольнике 60°, то угол O1AF равен 60°. Тогда можно записать, что
откуда
Рассмотрим прямоугольный треугольник ASO1, в котором известна гипотенуза AS=4 и катет AO1=2. По теореме Пифагора найдем второй катет SO1:
Теперь рассмотрим треугольник ASM, в котором угол SAM равен 90°, так как он является вписанным и опирается на диаметр окружности. Для такого прямоугольного треугольника можно записать равенство:
откуда
и радиус сферы, равен:
Площадь поверхности сферы можно найти по формуле
Ответ: 
Другие задания: