Задание 16. Две окружности внешне касаются друг друга в точке A. Прямая l касается первой окружности в точке B, а второй окружности – в точке D. Через точку A проведены две прямые: одна проходит через точку B и пересекает вторую окружность в точке F, а другая касается обеих окружностей и пересекает прямую l в точке E. Найдите радиусы окружностей, если AF=3√2, BE=√5.
Решение.
Нарисуем чертеж. Из точки E проведены к
левой (первой) окружности касательные BE и EA. А ко второй
окружности (правой) касательные EA и ED. Тогда по
теореме об отрезках касательных следует, что EB=EA, ED=EA, значит, EB=ED=EA и 
.
Пусть 
, а 
и 
. По теореме о касательной и секущей можно
записать:
Решаем квадратное уравнение, получаем два корня:
Так как длина не может быть
отрицательной, остается первый корень и 
.
Рассмотрим подобные треугольники O1AB и O2AF (они равнобедренные и имеют одинаковые острые углы). Для таких треугольников можно записать отношение:
Рассмотрим прямоугольный треугольник O1O2K, в котором O1K=BD и по теореме Пифагора
значит, 
. Учитывая, что 
, получаем:
Ответ: 
Другие задания: