ЕГЭ и ОГЭ
Главная > Авторские издания > ЕГЭ 2019. Математика. С.М. Балакирев. 10 дополнительных тестовых вариантов

Вариант 6. Задание 16. ЕГЭ 2019 Математика. С.М. Балакирев. 10 вариантов. Решение

Задание 16. Две окружности внешне касаются друг друга в точке A. Прямая l касается первой окружности в точке B, а второй окружности – в точке D. Через точку A проведены две прямые: одна проходит через точку B и пересекает вторую окружность в точке F, а другая касается обеих окружностей и пересекает прямую l в точке E. Найдите радиусы окружностей, если AF=3√2, BE=√5.

Решение.

Нарисуем чертеж. Из точки E проведены к левой (первой) окружности касательные BE и EA. А ко второй окружности (правой) касательные EA и ED. Тогда по теореме об отрезках касательных следует, что EB=EA, ED=EA, значит, EB=ED=EA и .

Пусть , а  и . По теореме о касательной и секущей можно записать:

Решаем квадратное уравнение, получаем два корня:

Так как длина не может быть отрицательной, остается первый корень и .

Рассмотрим подобные треугольники O1AB и O2AF (они равнобедренные и имеют одинаковые острые углы). Для таких треугольников можно записать отношение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник O1O2K, в котором O1K=BD и по теореме Пифагора

значит, . Учитывая, что , получаем:

Ответ:


Другие задания:

Темы раздела