Задание 16. В параллелограмм со сторонами 17 и 10 проведены биссектрисы внутренних углов. Найдите длины диагоналей четырехугольника, образованного в пересечении биссектрис.
Решение.
Так как 
, то 
, значит, 
(так как AE и BP – биссектрисы
соответствующих углов), а угол 
. То есть, 
. Аналогично можно показать, что и 
. Следовательно,
четырехугольник KLMN – прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны,
значит, KM=LN.
Рассмотрим треугольник ABP, в котором AK – биссектриса и
высота. Значит, треугольник ABP равнобедренный с AB=AP, а точка K делит BP пополам (то
есть AK – медиана).
Аналогично точка M – середина QD. Рассмотрим
прямую KM. Она делит
отрезки BP и QD пополам. Но и
средняя линия параллелограмма проходит через точки K и M. Значит,
отрезок KM лежит на
средней линии и 
.
Также можно заметить, что 
, следовательно, четырехугольник KMDP – параллелограмм
с
Ответ: 7.
Другие задания: