Задание 19. Пусть имеются
два натуральных числа, связанных между собой выражением 
, и пусть q – их наименьшее общее кратное, а d – их наибольший общий
делитель.
а) Может ли
быть равен
110?
б) Может ли
быть равен 3?
в) Найдите
наименьшее значение .
Решение.
Представим числа x и y в виде
произведений 
,
где a, b – взаимно
простые числа (иначе d не будет наибольшим общим делителем). Кроме того, из формулы следует, что при
x=1, имеем 
. Наименьшее общее кратное можно записать в
виде 
или так:
а) Чтобы 
число 110 должно представляться в виде
произведения двух взаимно простых чисел a и b. Получаем вариант a=10, b=11, d=1, тогда x=10, y=11. Но эти числа не удовлетворяет равенству . Можно
заметить, что остальные варианты (например, a=11, b=20, d=2) будут только
отдаляться от этого равенства.
б)-в) Равенство выполняется при наименьших x=1, y=4 (см. начало
решения), следовательно, минимальное значение (при a=1, b=4, d=1)
Простым перебором можно убедиться, что
при 
и a=1, b=2, d=1 имеем x=1, y=2 выражение не выполняется.
Аналогично и при x=1, y=3.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.
Другие задания: