ЕГЭ и ОГЭ
Главная > Авторские издания > ЕГЭ 2019. Математика. С.М. Балакирев. 10 дополнительных тестовых вариантов

Вариант 3. Задание 19. ЕГЭ 2019 Математика. С.М. Балакирев. 10 вариантов. Решение

Задание 19. Пусть имеются два натуральных числа, связанных между собой выражением , и пусть q – их наименьшее общее кратное, а d – их наибольший общий делитель.

а) Может ли  быть равен 110?

б) Может ли  быть равен 3?

в) Найдите наименьшее значение .

Решение.

Представим числа x и y в виде произведений , где a, b – взаимно простые числа (иначе d не будет наибольшим общим делителем). Кроме того, из формулы  следует, что при x=1, имеем . Наименьшее общее кратное можно записать в виде  или так:

а) Чтобы  число 110 должно представляться в виде произведения двух взаимно простых чисел a и b. Получаем вариант a=10, b=11, d=1, тогда x=10, y=11. Но эти числа не удовлетворяет равенству . Можно заметить, что остальные варианты (например, a=11, b=20, d=2) будут только отдаляться от этого равенства.

б)-в) Равенство  выполняется при наименьших x=1, y=4 (см. начало решения), следовательно, минимальное значение (при a=1, b=4, d=1)

Простым перебором можно убедиться, что при  и a=1, b=2, d=1 имеем x=1, y=2 выражение  не выполняется. Аналогично и при x=1, y=3.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.


Другие задания:

Все товары
Темы раздела