ЕГЭ и ОГЭ
Главная > Авторские издания > ЕГЭ 2019. Математика. С.М. Балакирев. 10 дополнительных тестовых вариантов

Вариант 6. Задание 14. ЕГЭ 2019 Математика. С.М. Балакирев. 10 вариантов. Решение

Задание 14. В правильную шестиугольную пирамиду вписан шар. Высота пирамиды 2, длина боковой грани √8. Найдите объем шара.

Решение.

Сделаем чертеж. Здесь OB1=OH=r – радиусы вписанного шара. Соответственно, .

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник SAH (угол SHA равен 90°, так как SH – высота). В нем нам известна гипотенуза SA=√8 и катет SH=2. По теореме Пифагора найдем второй катет AH:

2. В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник, который можно разбить на 6 равносторонних треугольников.

Рассмотрим равносторонний треугольник AHB, в котором все углы по 60°. Тогда его высота HP может быть найдена как

А из прямоугольного треугольника SPH по теореме Пифагора найдем гипотенузу SP:

3. Рассмотрим треугольники SPH и SB1O, которые подобны по двум углам (, а угол PSH – общий). Для подобных треугольников можно записать соотношение:

откуда

4. Объем шара вычислим по формуле

Ответ:


Другие задания:

Темы раздела