Задание 14. В правильную шестиугольную пирамиду вписан шар. Высота пирамиды 2, длина боковой грани √8. Найдите объем шара.
Решение.
Сделаем чертеж. Здесь OB1=OH=r – радиусы вписанного шара. Соответственно, .
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник SAH (угол SHA равен 90°, так как SH – высота). В нем нам известна гипотенуза SA=√8 и катет SH=2. По теореме Пифагора найдем второй катет AH:
2. В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник, который можно разбить на 6 равносторонних треугольников.
Рассмотрим равносторонний треугольник AHB, в котором все углы по 60°. Тогда его высота HP может быть найдена как
А из прямоугольного треугольника SPH по теореме Пифагора найдем гипотенузу SP:
3. Рассмотрим треугольники SPH и SB1O, которые подобны по двум углам (, а угол PSH – общий). Для подобных треугольников можно записать соотношение:
откуда
4. Объем шара вычислим по формуле
Ответ:
Другие задания: