Задание 16. В треугольнике ABC проведены биссектриса AD и прямая CF, перпендикулярная биссектрисе AD и пересекающая ее в точке T, а сторону AB в точке F так, что DT=1, угол ACF=50° и угол ABC=20°.
а) Найдите углы в треугольнике ABC.
б) Найдите длину отрезка CF.
Решение.
а) Изобразим треугольник ABC на рисунке. И рассмотрим треугольник ACF, который будет равнобедренный со сторонами AC=AF и основанием CF. (Равнобедренность этого треугольника вытекает из того факта, что в нем биссектриса AT совпадает с высотой).
Учитывая, что углы в равнобедренном
треугольнике при основании равны, то 
. Значит, угол
а угол
Получаем равные углы при основании AC, значит, треугольник ACB равнобедренный со сторонами AB=BC.
б) Угол 
. Рассмотрим прямоугольный
треугольник DCT, в котором
катет DT лежит напротив
угла в 30°, значит, он в 2 раза меньше гипотенузы CD: 
, откуда 
. Найдем длину СT по теореме
Пифагора:
Так как треугольник ACF равнобедренный с основанием CF, то биссектриса AT является также и медианой, то есть,
Ответ: а) 20°; 80°;
80°; б) 
Другие задания: