Задание 14. В основании треугольной пирамиды PABC лежит правильный треугольник ABC со сторонами 1. Ребро PA перпендикулярно плоскости основания и равно √3. Плоскость α параллельна прямым PC и AB, а плоскость β параллельна прямым PB и AC. Найдите угол между плоскостями α и β.
Решение.
1. В основании треугольной пирамиды
проведена медиана BM, которая также является и высотой треугольника ABC. Также сделаны
дополнительные построения: отрезок 
и отрезок 
так, что плоскость 
, а плоскость 
.
2. Пусть нормаль к плоскости β
будет 
, а
нормаль к плоскости α будет 
. Координаты точек
тогда
Нормаль 
, а нормаль 
. Отсюда получаем такие системы уравнений:
и 
или в виде:
и 
Пусть 
, получим:
3. Обозначим искомый угол через ω. Тогда для него можно записать:
,
где 
- длина вектора m; 
- длина вектора n. Произведение
этих двух векторов, равно:
.
Подставляем все эти величины в формулу косинуса угла ω, получим:
и угол
Ответ: 
Другие задания: