ЕГЭ и ОГЭ
Главная > Авторские издания > ЕГЭ 2019. Математика. С.М. Балакирев. 10 дополнительных тестовых вариантов

Вариант 8. Задание 14. ЕГЭ 2019 Математика. С.М. Балакирев. 10 вариантов. Решение

Задание 14. Все грани призмы ABCDA1B1C1D1 – равные ромбы, с углами . Найдите угол между прямой BA1 и плоскостью BDB1.

Решение.

По условию задания ABCDA1B1C1D1 – призма, у которой все грани – равные ромбы, следовательно, у нее все ребра равны.

Так как острые углы ромбов 60°, то меньшая диагональ с двумя другими сторонами образует равносторонний треугольник. Например, треугольник A1В1B1 – равносторонний, так как у него все углы по 60°. Отсюда следует, что фигура DBB1D1 – ромб.

Рассмотрим треугольник DA1B1, у которого DA1=A1B1, то есть, он равнобедренный. Отсюда следует, что медиана A1O является также и высотой, то есть,  и , а, значит,  по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Следовательно, угол между прямой BA1 и плоскостью BDB1 есть угол A1BD1.

Так как , то  как проекции равных наклонных. Следовательно, диагонали  ромба DBB1D1, а значит, этот ромб квадрат.

Из равенств  получаем, что треугольники BA1D1 и BDD1 равны по трем сторонам (сторона D1B – общая). Следовательно, углы .

Ответ: 45.


Другие задания:

Темы раздела