Задание 16. В прямоугольнике ABCD сторона AB меньше стороны BC в 3 раза. Внутри прямоугольника имеется точка P такая, что BP=√17, CP=√2, DP=1. Найдите:
а) площадь прямоугольника ABCD;
б) косинус угла PCD.
Решение.
а) Задачу будем решать методом
координат. Выберем систему координат так, что 
. Пусть точка P имеет координаты
, а 
. Тогда
Согласно условию задания можно составить следующие три равенства относительно x, y, a:
Преобразуем их, получим:
Первые два уравнения подставляем в третье, получаем:
Сделаем замену 
, имеем:
Обратная подстановка дает два уравнения:
|
Здесь отрицательное значение не подходит, т.к. все координаты находятся в положительной области. |
При этом значении a координата y=0, что противоречит условию задания (точка P должна быть внутри прямоугольника, а не на его границе). |
Остается одно значение 
. Тогда
Это и есть координаты точки P (используется в п. б). Соответственно,
и
б) Найдем косинус угла PCD, используя формулу скалярного произведения векторов:
откуда
Координаты векторов 
, а их скалярное произведение:
Длины векторов
Получаем:
Ответ: а) 
; б) 
Другие задания:
