ЕГЭ и ОГЭ
Главная > Авторские издания > ЕГЭ 2019. Математика. С.М. Балакирев. 10 дополнительных тестовых вариантов

Вариант 5. Задание 14. ЕГЭ 2019 Математика. С.М. Балакирев. 10 вариантов. Решение

Задание 14. В правильную треугольную пирамиду вписана сфера. Высота пирамиды 8, а сторона основания 2. Найдите площадь поверхности сферы.

Решение.

Сделаем чертеж. Здесь MO=OK=R – радиус вписанной сферы. Тогда .

1. Так как пирамида правильная, то в ее основании лежит равносторонний треугольник ABC, а высота пирамиды S проецируется в точку K, которая делит отрезок CL в отношении 2:1, отсчитывая от вершины C.

Длина отреза CK связана с длиной стороны AB=2 выражением:

а

2. Найдем длину отрезка SL из прямоугольного треугольника SLK, в котором известны катеты SK=8 и LK=1/√3:

3. Треугольники SMO и SLK подобны по двум углам (, а угол SLK – общий). Для таких треугольников можно записать отношение:

откуда

и площадь сферы

Ответ:


Другие задания:

Все товары
Темы раздела