Задание 14. В правильную треугольную пирамиду вписана сфера. Высота пирамиды 8, а сторона основания 2. Найдите площадь поверхности сферы.
Решение.
Сделаем чертеж. Здесь MO=OK=R – радиус
вписанной сферы. Тогда 
.
1. Так как пирамида правильная, то в ее основании лежит равносторонний треугольник ABC, а высота пирамиды S проецируется в точку K, которая делит отрезок CL в отношении 2:1, отсчитывая от вершины C.
Длина отреза CK связана с длиной стороны AB=2 выражением:
а
2. Найдем длину отрезка SL из прямоугольного треугольника SLK, в котором известны катеты SK=8 и LK=1/√3:
3. Треугольники SMO и SLK подобны по двум
углам (
, а
угол SLK – общий). Для
таких треугольников можно записать отношение:
откуда
и площадь сферы
Ответ: 
Другие задания: