Задание 14. В правильную
четырехугольную пирамиду вписана сфера. Боковое ребро пирамиды 
, а диагональ основания
6. Найдите площадь поверхности сферы.
Решение.
1. Сделаем рисунок. Здесь OM=OL=R – радиусы сферы. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Диагонали этого квадрата AC=BD=6, а стороны
2. Найдем длину SK по теореме
Пифагора из прямоугольного треугольника SBK, в котором
гипотенуза 
, а
катет 
:
Найдем высоту SM из
прямоугольного треугольника ASM, в котором известен катет AM=AC:2=6:2=3 и
гипотенуза 
.
Тогда по теореме Пифагора, имеем:
Обозначим через R радиус вписанной сферы, тогда
3. Рассмотрим два треугольники SMK и SOL, которые
подобны по двум углам (
, а угол MSK – общий). Для подобных
треугольников можно записать отношение:
откуда
И площадь поверхности сферы
Ответ: 
Другие задания: