Задание 16. В равнобедренную трапецию вписана окружность.
а) Докажите, что диаметр окружности есть среднее пропорциональное ее оснований.
б) Найдите острый угол трапеции, если основания равны 3 и 15.
Решение.
а) Нарисуем чертеж и введем прямоугольную систему координат так, чтобы ось симметрии равнобедренной трапеции совпадала с осью Oy.
Пусть 
, тогда
По условию задания в трапецию можно вписать окружность, значит, суммы ее противоположных сторон равны:
и так как трапеция равнобедренная и AD=CB, получаем:
(1)
Рассмотрим прямоугольный треугольник CMB (так как 
), следовательно, по теореме
Пифагора
и, учитывая, (1), имеем:
Так как d – это диаметр
окружности, а 
-
основания трапеции, то положение доказано.
б) Учитывая, что 
, а 
, получаем:
а
Рассмотрим прямоугольный треугольник CMB и вычислим тангенс угла CBM:
Подставляем числовые значения, получаем:
и
Ответ: 
Другие задания: