Задание 16. Окружность с
центром на диагонали AC параллелограмма ABCD касается прямой
AB и проходит
через точки C и D. Найдите
стороны параллелограмма, если его площадь равна √2, а 
.
Решение.
Сделаем чертеж. Здесь точка O – центр окружности, точка F – касание окружности стороны AB. И обозначим через R радиус окружности.
Так как ABCD параллелограмм,
то 
, а 
. По условию дан угол , значит,
Пусть AB=CD=x, а BC=AD=y, тогда площадь параллелограмма может быть записана в виде:
Рассмотрим равнобедренный треугольник COD, из которого следует, что
Диагональ AC=AO+OC. Длину AO можно выразить из прямоугольного треугольника AFO (так как радиус с касательной AB образуют прямой угол), в котором угол AFO равен 90°. Тогда
и
Подставляем x и AC в формулу площади параллелограмма, получим:
Значит,
Сторону BC найдем из треугольника ABC по теореме косинусов:
Получили стороны параллелограмма √2 и √3.
Ответ: 
.
Другие задания: