1	Для покраски 1 кв. м потолка в среднем требуется 120 г краски. Краска продаётся в банках по 1,5 кг. Егор решил купить краску с запасом в 10 % к среднему расходу. Какое наименьшее количество банок краски нужно купить для покраски потолка площадью 42 кв. м? Перейти к решению

 

2

Когда самолёт находится в горизонтальном полёте, подъёмная сила, действующая на крылья, зависит от скорости. На рисунке изображена эта зависимость для некоторого самолёта. На горизонтальной оси отмечена скорость в километрах в час, на вертикальной оси — подъёмная сила в тоннах силы. Определите по графику, на сколько километров в час увеличилась скорость полёта при увеличении подъёмной силы с 1 тонны до 4 тонн. Перейти к решению

 

3	На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён равносторонний треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности. Перейти к решению

 

4	В кафе на одной полке в случайном порядке стоят 50 чайных чашек: 30 зелёных, 10 красных и 10 синих. На другой полке в случайном порядке стоят 50 блюдец: 30 зелёных, 10 красных и 10 синих. Найдите вероятность того, что случайно выбранные чашка и блюдце будут одинакового цвета. Перейти к решению

 

5	Найдите корень уравнения Перейти к решению

 

6	Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 15 и 17. Перейти к решению

 

7	На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (-9; 2). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. Перейти к решению

 

8	Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 5. У второго цилиндра высота в 2,5 раза меньше, а радиус основания в 3 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра. Перейти к решению

 

9	Найдите значение выражения Перейти к решению

 

10

Водолазный колокол, содержащий v = 5 моль воздуха объёмом V1 = 26 л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма V2 (в л). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле , где  Дж/(моль∙К) — постоянная, Т = 300 К — температура воздуха. Найдите, какой объём V2 будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 25 500 Дж. Ответ дайте в литрах. Перейти к решению

 

11	Смешали 2 кг воды с 3 кг 32-процентного раствора и некоторым количеством 42-процентного раствора одного и того же вещества. Сколько килограммов 42-процентного раствора использовали, если в результате получили 32-процентный раствор вещества? Перейти к решению

 

12	Найдите наименьшее значение функции  на отрезке [0; 30]. Перейти к решению

 

13	а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Перейти к решению

 

15	Решите неравенство Перейти к решению

 

16

Отрезок, соединяющий середины М и N оснований соответственно ВС и AD трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная. б) Известно, что радиус этих окружностей равен 4, а меньшее основание ВС исходной трапеции равно 14. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны АВ, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности. Перейти к решению

 

17

Цена ценной бумаги на конец года вычисляется по формуле , где S0 — цена этой ценной бумаги на начало года в рублях. Максим может приобрести ценную бумагу, а может положить деньги на банковский счёт, на котором сумма увеличивается за год на 12 %. В начале любого года Максим может продать бумагу и положить все вырученные деньги на банковский счёт, а также снять деньги с банковского счёта и купить ценную бумагу. В начале 2021 года у Максима было 80 тысяч рублей, которые он может положить на банковский счёт или может приобрести на них ценную бумагу. Какая наибольшая сумма может быть у Максима через четыре года? Ответ дайте в рублях. Перейти к решению

 

19

Для набора 30 различных натуральных чисел выполнено, что сумма любых трёх чисел из этого набора меньше суммы любых четырёх чисел из этого набора. а) Может ли одним из этих чисел быть число 999? б) Может ли одним из этих чисел быть число 66? в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел этого набора? Перейти к решению