Задание 18. Найдите, при каких неотрицательных значениях a функция на отрезке [-1; 1] имеет ровно одну точку минимума.
Решение.
Найдём производную функции:
В точке x = 0 производная меняет знак с «-» на «+», поэтому точка x = 0 является точкой минимума.
Функция может иметь ещё точку минимума, если уравнение имеет два корня, а значит, при a < 2.
а) При a = 0 уравнение имеет два корня:
Точка x = 1/4 является точкой максимума.
б) При уравнение имеет три различных корня:
где . Точка x2 является точкой максимума, а точки x1 и x3 – точками минимума. Точка x3 лежит на отрезке [-1; 1], если , а это выполнено при всех .
Получили: функция на отрезке [-1; 1] имеет одну точку минимума при и a > 2.
Ответ:
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: