Задание 16. В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка О.
а) Докажите, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если АС = 12, BD = 13.
Решение.
а)В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке O, следовательно,
Пусть
(так как
треугольники ABO и CBO подобны по
условию задания). Так как 
, то 
и 
. Так как треугольники BCOи COD подобны, то 
. Так как треугольники OCDи OADподобны, то 
. Треугольники ABC и ADC –
равнобедренные со сторонами AB = BC и AD = DC. Следовательно,
AB+CD = BC+AD
и это означает, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
б)Радиус r вписанной окружности можно найти из площади четырехугольника ABCD:
где P – периметр четырехугольника ABCD. Отсюда следует, что
Рассмотрим
равнобедренный треугольник ABC с биссектрисой OB, которая также
является его высотой и медианой. Следовательно, AO=OC=6. Рассмотрим
прямоугольный треугольник BCD с прямым углом 
. Следовательно, CO – высота. Пусть
BO = y, тогда OD=13-yи
Решаем квадратное уравнение, получаем корни:
То есть, BO=4, OD = 9 или, наоборот, BO=9, OD=4. Возьмем первый вариант. Тогда:
Следовательно,
. Получаем
периметр и площадь четырехугольника ABCD:
И радиус вписанной окружности, равен:
Ответ:
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: