Задание 19. На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы — цифру 8, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раза?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 18 раз?
в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?
Решение.
а) Предположим для простоты, что в каждой группе по одному натуральному числу и эти числа различны:
A, B, C
По условию задания к первому числу приписывается 1, ко второму – 8, а третье остается без изменений. Математически это можно записать так:
10A+1, 10B+8, C
Нужно найти такие A, B, C, чтобы сумма увеличилась в 4 раза, то есть, чтобы соблюдалось условие:
Сделаем это методом подбора. Положим первое число A=1, тогда:
Далее, выберем натуральное C такое, чтобы получалось натуральное B. Например, при C=9, B = 2 и имеем три натуральных числа:
1, 2 и 9
Для них выполняется равенство:
б) Предположим, что в 1-й группе оказалось m чисел с их суммой равной A, во второй – n чисел с суммой, равной B, а в третьей числа с суммой C. Тогда условие задания можно записать так:
Откуда
И, например, сумму A можно определить так:
При условии, что значение A будет меньше m. Следовательно, условие б выполняться не может.
Ответ: а) да; б) нет
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: