Задание 16. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О, а угол BDC равен 75°. Точка Р лежит вне прямоугольника, а угол АРВ равен 150°.
а) Докажите, что углы ВАР и РОВ равны.
б) Прямая РО пересекает сторону CD в точке F. Найдите CF, если AP = 6√3 и BP = 4.
Решение.
а)ABCD – прямоугольник,
следовательно, CO = OD и треугольник COD–равнобедренный.
По условию задания 
,
значит, 
.
Также по условию задания 
и можно заметить, что 
(так как 
как вертикальные).
Получаем, что вокруг четырехугольника PAOBможно описать окружность. При этом, углы BAPи BOPопираются на одну и ту же дугу BP, следовательно, они равны.
б) Рассмотрим треугольник BAP. По теореме косинусов сторона AB, равна:
Стороны
AB и OP пересекаются в
точке M, при этом OB = OA, значит и дуги OB = OA и углы 
, следовательно, PM–биссектриса
угла APB. По свойству
биссектрисы:
Пусть AM = x, тогда BM = 14 –x и
Треугольники COF и AOM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, значит, CF = AM.
Ответ:
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: