Задание 19. У Миши в копилке есть 2-рублёвые, 5-рублёвые и 10-рублёвые монеты. Если взять 10 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 2-рублёвая. Если взять 15 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 5-рублёвая. Если взять 20 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 10-рублёвая.
а) Может ли у Миши быть 30 монет?
б) Какое наибольшее количество монет может быть у Миши?
в) Какая наибольшая сумма рублей может быть у Миши?
Решение.
а) Если у Миши 30 монет, то среди них должно быть минимум 30-10+1 = 21 двух рублевых. Иначе может возникнуть ситуация, когда среди 10 монет не окажется ни одной двухрублевой. По аналогии:
- 5-рублёвых: 30-15+1 = 16
- 10-рублёвых: 30-20+1 = 11
В сумме получаем минимум: 21+16+11 > 30 монет.
б) Пусть n – максимальное число монет. Тогда:
- 2-рублёвых: n-10+1
- 5-рублёвых: n-15+1
- 10-рублёвых: n-20+1
В сумме число монет должно быть n. Получаем уравнение:
в) Найдем максимальную сумму рублей. Пусть у Миши n=21 монет, тогда сумма составит:
Но здесь может быть еще один вариант, когда монет n=20 – это минимальное число. Тогда имеем: 11 2-рублёвых монет, 6 – 5-рублёвых и 3 – 10-рублёвых. В сумме, получаем:
рубля
Ответ: а) нет; б) 21; в) 82
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: