Задание 14. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания АВ равна 3, а боковое ребро AA1 равно √3. На рёбрах C1D1 и DD1 отмечены соответственно точки К и М так, что D1K = KC1, a DM : MD1 = 1:3.
а) Докажите, что прямые MK и BK перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMK и ABB1.
Решение.
а)Рассмотрим прямоугольный треугольник KMD1, так как ABCDA1B1C1D1 – правильная призма. По теореме Пифагора, имеем:
Рассмотрим прямоугольный треугольник BKB1, из которого:
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD:
тогда
Можно
заметить, что 
.
Следовательно, треугольник BKM – прямоугольный с катетами KM и BK, то есть, 
.
б)Угол между
плоскостями BMK и ABB1 – это то же
самое, что и угол между плоскостями BMK и DD1C1. Плоскости
пересекаются по прямой KM, причем .
Построим
прямую KL, которая
принадлежит плоскости DD1C1 и
перпендикулярна прямой KM. Рассмотрим подобные треугольники D1KM и C1LK (подобны по
двум углам: 
;
):
Следовательно,
точка L совпадает с
точкой C и 
и угол BKC–линейный угол
двугранного угла между плоскостями BMK и DD1C1, а также между
плоскостями BMK и ABB1.
Рассмотрим прямоугольный треугольник KC1C, из которого:
Рассмотрим
прямоугольный треугольник BCK (так как 
):
и
Ответ:
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: