Задание 14. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания АВ равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка М — середина ребра АВ. Плоскость α перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки М и D. Прямая SC пересекает плоскость α в точке К.
а) Докажите, что КМ = KD.
б) Найдите объём пирамиды CDKM.
Решение.
а) Пусть прямые CF и MD пересекаются в точке Н, a SO — высота пирамиды SABCDEF. Поскольку пирамида SABCDEF правильная, центр правильного шестиугольника ABCDEF совпадает с точкой О. Значит, прямая SO лежит в плоскости SCF. Следовательно, плоскость SCF перпендикулярна плоскости ABC.
Получаем, что прямая КН, являющаяся прямой пересечения плоскостей SCF и а, перпендикулярна плоскости ABC. Значит, отрезок КН является высотой в треугольнике MKD.
Рассмотрим правильный шестиугольник ABCDEF (рис. 2). Прямые АВ и CF параллельны, а точка О — середина отрезка AD, следовательно, отрезок ОН — средняя линия треугольника ADM и МН = HD. Таким образом, отрезок КН является медианой и высотой в треугольнике MKD, значит, этот треугольник равнобедренный и KM = KD.
б) В пункте а было доказано, что прямая КН перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, отрезок КН является высотой пирамиды CDKM.
Поскольку отрезок ОН является средней линией треугольника ADM, то
В треугольнике SOC имеем:
Пусть точка L — середина отрезка OA. Тогда средняя линия LM треугольника АОВ параллельна прямой ОВ, а значит, и прямой CD. Значит, расстояние от точки М до прямой CD равно расстоянию от точки L до прямой CD и равно 3/4 расстояния h между прямыми AF и CD.
Площадь треугольника CDM равна
Объём пирамиды CDKM равен
Ответ:
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: