ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 2454. На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру

 

Задание 19. На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Решение.

а) Предположим для простоты, что в каждой группе по одному натуральному числу и эти числа различны:

A, B, C

По условию задания к первому числу приписывается 3, ко второму – 7, а третье остается без изменений. Математически это можно записать так:

10A+3, 10B+7, C

Нужно найти такие A, B, C, чтобы сумма увеличилась в 8 раз, то есть, чтобы соблюдалось условие:

Сделаем это методом подбора. Положим первое число A=1, тогда:

Далее, выберем натуральное C такое, чтобы получалось натуральное B. Например, при C=4, B = 8 и имеет три натуральных числа:

1, 8 и 4

Для них выполняется равенство:

б) Предположим, что в 1-й группе оказалось m чисел с их суммой равной A, во второй – n чисел с суммой, равной B, а в третьей числа с суммой C. Тогда условие задания можно записать так:

Откуда

И, например, сумму A можно определить так:

При условии, что  значение A будет меньше m. Следовательно, условие б выполняться не может.

в) Найдем наибольшее k, для которого выполняется равенство:

Выразим это значение, получим:

Отсюда видно, что для максимального k величина C должна быть минимальной (C = 1). Далее, величина 3m растет медленнее, чем 7n, значит, числа из 1-й группы лучше перебросить во вторую. В результате, для максимизации k размер 1-й и 3-й группы следует взять равной 1 – по одному числу. Получаем новое выражение для k:

Отсюда видно, что для максимизации k числитель должен быть максимальным, а знаменатель – минимальным. Следовательно, натуральные числа в группах должны быть:

1, 2, 3, …

то есть, начинаться с 1 и увеличиваться на 1 (т.к. должны быть разными). Значит, сумма A+B+C – это арифметическая прогрессия из n+2 слагаемых:

и

Найдем значение n, при котором k максимально. Так как n меняется дискретно с шагом 1, то производную можно заменить конечной разностью:

Отсюда видно, что знак разности меняется при переходе от n=3 к n=4, следовательно, это и есть точка максимума, при которой:

Ответ: а) да; б) нет; в) 232/21


Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей доступны следующие материалы: