Задание 16. В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка О.
а) Докажите, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если АС = 10, BD = 26.
Решение.
а)В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны, следовательно,
Пусть
(так как
треугольники ABO и CBO подобны по
условию задания). Также 
и 
из подобия треугольников CBO и DCO. Причем должно
выполняться условие: 
.
Наконец, из подобия треугольников DCO и DAO следует, что 
. Имеем:
Из последних двух равенств следует, что вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.
б)Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с биссектрисой BO, следовательно, она же является и высотой и медианой, поэтому AO=OC=5. Учитывая, что
треугольник BCD – прямоугольный с высотой CO. Пусть BO = x, тогда OD = 26-x и
Решаем квадратное уравнение, получаем два корня:
Следовательно, BO = 1, OD = 25 или, наоборот, BO = 25, OD = 1. Предположим, что BO = 1, OD = 25, тогда:
Для
второго варианта: 
.
Так как AB = BC, AD = CD, то периметр
четырехугольника ABCD, равен:
Площадь четырехугольника ABCD:
И также ее можно определить по формуле:
Ответ:
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: