Задание 14. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания АВ равна 2√3, а боковое ребро АА1 равно 3. На рёбрах A1D1 и DD1 отмечены соответственно точки К и М так, что А1К = KD1, a DM : MD1 = 2:1.
а) Докажите, что прямые МК и ВК перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMK и BCC1.
Решение.
а) Из
прямоугольных треугольников KMD1, BKB1 и BMD соответственно получаем,
что KM = 2, BK = 2√6 и
ВМ = 2√7. Заметим, что 
. Значит, треугольник BKM прямоугольный,
а прямые MK и BK
перпендикулярны.
б) Угол между плоскостями BMK и BCC1 равен углу между плоскостями BMK и ADD1. Плоскости BMK и ADD1 пересекаются по прямой KM, причём прямые MK и BK перпендикулярны (см. пункт а). Построим прямую KZ в плоскости ADD1, перпендикулярную прямой KM:
Треугольники KDM1 и ZKA подобны по двум углам. Значит,
Откуда
Следовательно, точки А и Z совпадают, а АК перпендикулярно КМ. Получили, что угол AKB — линейный угол двугранного угла между плоскостями BMK и ADD1.
Из прямоугольного треугольника АВК получаем, что
,
значит угол между плоскостями BMK и BCC1 равен 45°.
Ответ: 45
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: