Задание 19. Сторона квадрата на 3 см длиннее ширины прямоугольника, площади этих фигур равны, а все длины сторон — целые числа.
а) Может ли ширина прямоугольника быть равной 8?
б) Может ли длина прямоугольника быть равной 16?
в) Найдите все возможные варианты таких пар прямоугольников и квадратов. В ответе укажите длины их сторон.
Решение.
а) Пусть x см – длина стороны квадрата. Тогда ширина прямоугольника, равна x-3 см. Так как площади фигур равны, то можно записать равенство:
где a – высота прямоугольника. По условию x-3 = 8, значит, x=11 и получаем равенство:
Высота прямоугольника получается не целым числом, значит, ширина не может равняться 8.
б) Аналогично рассчитаем для a=16, имеем:
Имеем целые корни, значит, длина может быть равна 16 см.
в) Из равенства имеем, что 
. При минимальном значении
x=4 параметр a=16 (см. п. б), и
еще имеем второе значение x=12, которое будет максимальным (иначе
другая сторона будет 0 или отрицательной). Получаем диапазон 
. В принципе, здесь
достаточно просто перебрать варианты и проверить когда будут получаться целые
значения, получим:
9x16 и 12x12; 3x12 и 6x6; 1x16 и 4x4
Ответ: а) нет; б) да; в) 9x16 и 12x12; 3x12 и 6x6; 1x16 и 4x4
Для наших пользователей доступны следующие материалы: