Задание 16. Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке С. Вершины А и В равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б) Найдите ВС, если радиусы окружностей равны √15 и 15.
Решение.
а)Две окружности
разного радиуса касаются внешним образом в точке C, причем 
, AC = BC. Также 
, так как AD – диаметр
первой окружности и 
,
так как BE–диаметр второй
окружности. Далее, O1D = O1C как радиусы,
значит, 
, 
(как вертикальные), 
(так как треугольник BCO2 –равнобедренный).
Следовательно, 
.
Эти же углы являются накрест лежащими для прямыхAD, BE и секущей BD. Значит, 
по признаку
параллельности прямых.
б)По условию
задания 
,
тогда 
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Пусть CD = x, AC = y. Тогда:
Рассмотрим подобные треугольники BCE и DCA (по двум углам), для которых запишем отношение:
Значит,
. По условию
задания AC = CB, следовательно,
и
И отрезок BC, равен:
Ответ: 7,5
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: