ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 3054. Для каждого натурального числа n обозначим через n! произведение первых n натуральных чисел (1! = 1). а) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 9 нулями?

Задание 19. Для каждого натурального числа n обозначим через n! произведение первых n натуральных чисел (1! = 1).

а) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 9 нулями?

б) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 23 нулями?

в) Сколько существует натуральных чисел  n, меньших 100, для каждого из которых десятичная запись числа n!∙(100 - n)! оканчивается ровно 23 нулями?

Решение.

а) Для n = 40 получаем , где число p – это произведение всех кратных 5 натуральных чисел от 1 до 40, a q – это произведение всех не кратных 5 натуральных чисел от 1 до 40. Тогда число  делится на , но не делится на , а число q делится на , но не делится на 5. Значит, число n! делится на , но не делится на , и, следовательно, его десятичная запись оканчивается ровно 9 нулями.

б) Для n = 99 получаем , где число p – это произведение всех кратных 5 натуральных чисел от 1 до 99, a q – это произведение всех не кратных 5 натуральных чисел от 1 до 99.

Тогда число , где число r не делится на 5. Следовательно, число p делится на , но не делится на . При этом число q делится на , но не делится на 5. Значит, число n! делится на , но не делится на , и, следовательно, его десятичная запись оканчивается ровно 22 нулями. Поэтому десятичная запись числа n! при n < 99 не может оканчиваться ровно 23 нулями, а при  число делится на 100! = 99!∙100 и, следовательно, десятичная запись числа n! оканчивается более чем 23 нулями. Следовательно, таких чисел не бывает.

в) Для каждого действительного числа x обозначим через [x] наибольшее целое число, не превосходящее x. Тогда для любого натурального числа m и любого простого числа p среди чисел 1, 2, …, m найдется ровно  чисел, кратных p, и  чисел, кратных .

Поскольку при  ни одно из чисел 1, 2, ..., m не кратно , то получаем, что число  делится на  и На  но не делится на .

Для любого натурального числа n, меньшего 100, получаем: ,

и

Значит, для каждого такого n десятичная запись числа n!∙(100-n)! оканчивается ровно

 нулями.

Число  равно 20 при n, кратных 5, и равно 19 при n, не кратных 5.

Число  равно 4 при n, кратных 25, и равно 3 при n, не кратных 25. Значит, для числа

имеем:

k = 24 при n, кратных 25,

k = 23 при n, кратных 5, но не кратных 25,

k = 22 при n, не кратных 5.

Следовательно, натуральное число n, меньшее 100, будет искомым тогда и только тогда, когда оно кратно 5, но не кратно 25.

Значит, существует ровно 16 искомых натуральных чисел.

Ответ: а) да; б) нет; в) 16.


Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей доступны следующие материалы: