Задание 16. На сторонах АС, АВ и ВС прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вне треугольника ABC построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC, ALB и ВМС с прямыми углами К, L и М соответственно.
а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM.
б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 4.
Решение.
а) По условию
. Значит,
четырёхугольник LACB вписанный.
Хорды
AL и LB описанной около
четырёхугольника LACB окружности равны. Значит, равны между собой
стягиваемые этими хордами дуги, а также опирающиеся на эти дуги вписанные углы ACL и LCB. Тогда 
.
По
условию 
.
Следовательно, 
и
, а значит, LC — высота
треугольника KLM.
б) Пусть ВС = а, AC = b, АВ = c и CL = d, Р — точка пересечения CL и АВ. Тогда по доказанному в п. a CP — биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрисы АР : РВ = АС : СВ = b:а, АР + РВ = АВ = с. Отсюда
Поскольку
, получаем,
что треугольники ACL и PAL подобны по двум углам. Следовательно:
; 
и 
Площадь
треугольника KLM равна половине
произведения его высоты LC = d на основание 
. Следовательно,
искомая площадь равна 
Ответ: 8
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: