Задание 16. На сторонах АС, АВ и ВС прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вне треугольника ABC построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC, ALB и ВМС с прямыми углами К, L и М соответственно.
а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM.
б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 4.
Решение.
а) По условию . Значит, четырёхугольник LACB вписанный.
Хорды AL и LB описанной около четырёхугольника LACB окружности равны. Значит, равны между собой стягиваемые этими хордами дуги, а также опирающиеся на эти дуги вписанные углы ACL и LCB. Тогда .
По условию . Следовательно, и , а значит, LC — высота треугольника KLM.
б) Пусть ВС = а, AC = b, АВ = c и CL = d, Р — точка пересечения CL и АВ. Тогда по доказанному в п. a CP — биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрисы АР : РВ = АС : СВ = b:а, АР + РВ = АВ = с. Отсюда
Поскольку , получаем, что треугольники ACL и PAL подобны по двум углам. Следовательно:
; и
Площадь треугольника KLM равна половине произведения его высоты LC = d на основание . Следовательно, искомая площадь равна
Ответ: 8
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: