Задание 16. Отрезок, соединяющий середины М и N оснований соответственно ВС и AD трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 4, а меньшее основание ВС исходной трапеции равно 14. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны АВ, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.
Решение.
а)Пусть AB = a, BM = b, MC = b (так как BM = MC по условию задания), CD = d, AN = c, ND = c (AN = ND по условию), MN = k. В соответствии с заданием в четырехугольник ABMN можно вписать окружность, значит, сумма длин противоположных сторон раны:
BM + AN = AB + MN
или
b + c = a + k
В четырехугольник MCDN также можно вписать окружность, значит:
MC + ND = MN + CD
или
b + c = k + d
Получаем систему:
То есть AB = CD и трапеция ABCD – правильная.
б) По заданию BC = 14, PO1 = 4, тогда BM = 7, PM = 2. Так как четырехугольник PMLO1 –квадрат, то PM = O1L = 4 и BP = 7-4 = 3. Соответственно, BK = BP = 3 как равные отрезки касательных. Радиус O1K = 4.
Треугольник
BO1A – прямоугольный,
так как BO1 и AO1 –биссектрисы и
(так как ABCD–трапеция). Рассмотрим
треугольник BO1A. По теореме
Пифагора, имеем:
Треугольники AFO и AKO подобны по двум углам и для них можно записать отношение:
Откуда
Радиус искомой окружности равен 1.
Ответ: 1
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: