Задание 14. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 8 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды SA= √21, SB = √85, SD = √57.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Решение.
а)Рассмотрим треугольник SAB, в котором по условию задания: SA= √21, AB = 8, SB = √57.Можно заметить, что
и согласно обратной теореме Пифагора треугольникSAB – прямоугольный, с гипотенузой SB и катетами SA и AB.
Рассмотрим треугольник SAD со сторонами: SD = √57, SA= √21, AD = 6 (так как в основании пирамиды лежит четырехугольник, поэтому AD = BC). Здесь также:
и по обратной теореме Пифагора имеем прямоугольный треугольник SAD с гипотенузой SD и катетами SA и AD.
Так
как 
, то по
признаку перпендикулярности прямой и плоскости 
и SA–высота
пирамиды.
б)Так как ABCD – прямоугольник,
то точка O лежит на
пересечении его диагоналей и делит их пополам, то есть, O–середина
отрезка BD. Сделаем
построение – отрезок KO как средняя линия треугольника SAC, причем, 
. Тогда угол между SC и BDбудет также
равен углу KOD.
Найдем косинус угла SOD из треугольника KOD. В соответствии с теоремой косинусов, имеем:
Рассмотрим
прямоугольный треугольник SDC (прямоугольный, так как 
и 
- по теореме о трех
перпендикулярах получаем, что 
). По теореме Пифагора:
Тогда KO = SC:2 = 11:2. Далее, диагональ
Следовательно,
DO = DB:2 = 5. Точка K – середина SA, имеем: 
и
Получаем косинус угла:
и
Ответ:
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: