Задание 16. На сторонах АС, АВ и ВС прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C во внешнюю сторону построены равнобедренные прямоугольные треугольники АКС, ALB и ВМС с прямыми углами К, L и М соответственно.
а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM,
б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 10.
Решение.
а) Рассмотрим четырехугольник ALBC, у которого углы ACB = ALB = 90°, а значит, вокруг него можно описать окружность (по свойству: сумма противоположных углов ACB+ALB = 180°). Тогда хорды AL = LB (треугольники АКС, ALB и ВМС – равнобедренные) стягивают дуги , следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, также равны: ; ; , следовательно, LC перпендикулярна KM и LC – высота треугольника KLM.
б) Площадь треугольника KLM можно найти по формуле:
Пусть BC = a, AC = b, CL = d, AB = c, а P – точка пересечения AB и CL. Так как , то CB – биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрис:
Учитывая, что AP + PB = AB = c, получаем систему:
С решением:
Так как углы , то треугольники ACL и PAL подобны по двум углам и:
и . Из равенства KM = KC + CM, получаем:
Следовательно:
Ответ: 50
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: