Задание 16. На сторонах АС, АВ и ВС прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C во внешнюю сторону построены равнобедренные прямоугольные треугольники АКС, ALB и ВМС с прямыми углами К, L и М соответственно.
а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM,
б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 10.
Решение.
а)
Рассмотрим
четырехугольник ALBC, у которого углы ACB = ALB = 90°, а
значит, вокруг него можно описать окружность (по свойству: сумма
противоположных углов ACB+ALB = 180°). Тогда
хорды AL = LB (треугольники АКС,
ALB и ВМС – равнобедренные) стягивают дуги 
, следовательно, вписанные углы,
опирающиеся на эти дуги, также равны: 
; 
; 
, следовательно, LC перпендикулярна
KM и LC – высота
треугольника KLM.
б) Площадь треугольника KLM можно найти по формуле:
Пусть
BC = a, AC = b, CL = d, AB = c, а P – точка
пересечения AB и CL. Так как 
, то CB – биссектриса
треугольника ABC. По свойству
биссектрис:
Учитывая, что AP + PB = AB = c, получаем систему:
С решением:
Так
как углы 
,
то треугольники ACL и PAL подобны по двум углам и:
и
. Из
равенства KM = KC + CM, получаем:
Следовательно:
Ответ: 50
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: