Задание 16. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О, а угол BDC равен 22,5°. Точка Р лежит вне прямоугольника, а угол ВРС равен 135°.
а) Докажите, что углы ВСР и РОВ равны.
б) Прямая РО пересекает сторону AD в точке F. Найдите DF, если BP = 7 и CP = 5√2.
Решение.
а)ABCD – прямоугольник,
следовательно, AO = OC = BO = OD и треугольник DOC–равнобедренный.
По условию задания
,
значит,
и 
. Можно заметить, что 
и вокруг
четырехугольника OBPC можно описать окружность. При этом, углы BCPи POBопираются на
одну и ту же дугу BP, следовательно, они равны.
б)Хорды OC = OB, следовательно,
равны и дуги OCи OB. На эти дуги
опираются углы OPC и OPB, значит, 
и PO–биссектриса, а PM–биссектриса
треугольника BPC. По свойству
биссектрисы:
Рассмотрим треугольник BPC. По теореме косинусов находим сторону BC:
Пусть BM = x, тогда CM = 13 –x. Имеем:
Треугольники DOF и BOM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (DO=BO, углы ODF=OBM и FOD=BOM). Следовательно, DF=BM.
Ответ:
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: