1	В треугольнике ABC известно, что АС = ВС, высота АН равна 6√6 , ВН = 3. Найдите cos ВАС. Перейти к решению

 

2	Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A1, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 6. Перейти к решению

 

3	В группе туристов 25 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 5 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Н. полетит вторым рейсом вертолёта. Перейти к решению

 

4	Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 5. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых. Перейти к решению

 

5	Найдите корень уравнения Перейти к решению

 

6	Найдите значение выражения Перейти к решению

 

7	На рисунке изображён график функции у = f(x), определённой на интервале (-1; 13). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y = f(x) параллельна прямой y = -2. Перейти к решению

 

8	Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону , где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 7 метров? Перейти к решению

 

9

Смешав 8-процентный и 26-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 16-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 20-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 8-процентного раствора использовали для получения смеси? Перейти к решению

 

10	На рисунке изображены графики функций  и , которые пересекаются в точке A(x0; y0). Найдите y0. Перейти к решению

 

11	Найдите точку максимума функции , принадлежащую промежутку . Перейти к решению

 

12	а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0,15; 1,5]. Перейти к решению

 

13

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD относится к боковому ребру как 1 : √2 . Через вершину D проведена плоскость α, перпендикулярная боковому ребру SB и пересекающая его в точке М. а) Докажите, что М — середина SB. б) Найдите расстояние между прямыми АС и DM, если высота пирамиды равна 6√3. Перейти к решению

 

14	Решите неравенство Перейти к решению

 

15

15 июня 2025 года Сергей Данилович планирует взять кредит в банке на 4 года в размере целого числа миллионов рублей. Условия его возврата таковы: - в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 15 % от суммы долга на конец предыдущего года; - в период с февраля по июнь в каждый из 2026 и 2027 годов необходимо выплатить только начисленные в январе проценты по кредиту; - в период с февраля по июнь в каждый из 2028 и 2029 годов выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат по кредиту превысит 12 млн рублей. Перейти к решению

 

16

Окружность с центром в точке C касается гипотенузы АВ прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты АС и ВС в точках Е и F. Точка D — основание высоты, опущенной из вершины C. I и J — центры окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD. а) Докажите, что I и J лежат на отрезке EF. б) Найдите расстояние от точки C до прямой IJ, если АС = 15, ВС = 20. Перейти к решению

 

17	Найдите все значения a, при каждом из которых оба уравнения  и  имеют ровно по 2 различных корня, и строго между корнями каждого из уравнений лежит корень другого уравнения. Перейти к решению

 

18	Трёхзначное число, меньшее 910, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число n. а) Может ли n равняться 68? б) Может ли n равняться 86? в) Какое наибольшее значение может принимать n, если все цифры ненулевые? Перейти к решению