Задание 16. На сторонах АВ и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки K и N соответственно. Около четырёхугольников AKND и BCNK также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника ABCD равен 0,25.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD является равнобедренной трапецией.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника AKND, если радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, равен 8, AK : KB = 2:5, а ВС < AD и ВС = 4.
Решение.
а) Так как вокруг четырёхугольника ABCD можно описать окружность, то:
Очевидно,
что 
-
соответствующие для прямых BC, KN и секущей CD. Следовательно,
и KBCN – трапеция. В
этой трапеции:
но
, значит, 
.
Так
как 
и то 
- соответствующие для прямых KN, AD и секущей AB. Следовательно,
, , значит, ABCD
– равнобедренная
трапеция.
б) По условию 
, тогда:
Вокруг четырехугольника ABCD описана окружность, следовательно:
Проведем
высоту BB1 трапеции так,
что 
. Пусть 
тогда 
.
Из треугольника ABB1:
Из треугольника BB1D:
Следовательно, AB1 = 3,5, AD = 2x+4 = 11 и BB1 = 3,5√15.
Треугольники ABB1 и AKK1 подобны:
Следовательно,
.
Из треугольника KK1D:
Из треугольника AKD:
Ответ: 
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: