Задание 16. В параллелограмме ABCD угол ВАС вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла ВАС пересекает отрезок ВС в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка Е, что АЕ = СЕ.
а) Докажите, что АВ: AL = ВС: АС.
б)
Найдите EL, если АС = 24,
.
Решение.
а) Так как ABCD –
параллелограмм, то 
.
Пусть 
, тогда 
. Проведем биссектрису AZ угла BAC, получим:
Учитывая,
что 
, то 
, а из 
следует, что 
. Угол .
Рассмотрим подобные треугольники ABZ и ADC (подобны по двум углам). Для них можно записать отношение:
Для подобных треугольников ABZ и CBA (подобны по двум углам) можно записать отношение:
Следовательно:
откуда
б) Треугольник AZC –
равнобедренный с основанием AC, так как 
. Следовательно, AZ = ZC. Треугольники AZE и CZE равны по трем
сторонам. Следовательно, ZE – биссектриса угла AZC в треугольнике AZC. Получаем, что 
.
По
условию AC = 24, F – середина AC, имеем: 
.
Из прямоугольного треугольника ZFC, получаем:
Из прямоугольного треугольника CFE:
Находим длину отрезка ZE:
Ответ: 29,7
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: