Задание 18. Трёхзначное число, меньшее 910, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число n.
а) Может ли n равняться 68?
б) Может ли n равняться 86?
в) Какое наибольшее значение может принимать n, если все цифры ненулевые?
Решение.
Пусть
дано трёхзначное число abc и 
а) Может,
например, 
б) Пусть дано
трёхзначное число 
.
Тогда
Значит,
c четно. Но если 
, то 
, что невозможно, поэтому 
.
Из
равенства 
получим,
что a делится на 19.
Противоречие.
в) Получим оценку для n:
1)
Если n = 82, то 
, откуда 
. Число c чётно, значит, . Но тогда либо b = 0, либо a > 9.
Противоречие.
2)
Если n = 81, то 
. Тогда 
: иначе 
Но
уравнение 
не
имеет целых решений. Противоречие.
3)
Если n = 80, то 
, откуда c кратно 10.
Противоречие.
4)
Пример для n = 79: 
Ответ: а) да, б) нет, в) 79
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: